Anémométrie approfondie (0)

Le but de cet article est d’établir quelques notions et relations de base, et notamment la loi de Laplace, avant d’aborder dans de futurs articles des notions approfondies d’anémométrie.
Je n’expose que les calculs qui me semblent intéressants, et je ne décris pas toujours dans le détail les hypothèses faites. Dans le but de simplifier l’exposé je fais parfois des hypothèses plus en amont qu’il n’est nécessaire, ce qui fait perdre de la généralité aux relations établies. Un exposé plus abouti devrait utiliser l’entropie, mais cette notion me semble trop abstraite pour le but poursuivi. Je pense cependant ne pas avoir manqué de rigueur, n’hésitez à commenter surtout si vous notez des erreurs.

Commençons par un rappel de thermodynamique.

Si on défini l’énergie interne U d’un gaz monoatomique composé de N atomes de masse m, soit une masse totale de gaz M = m N, par la somme des énergies cinétiques des atomes qui le composent, au prix de certaines hypothèses assez intuitives, on peut établir, u2 étant la vitesse quadratique moyenne des atomes,
(1){\text{U}=\frac{1}{2} M u^2}
On établit en admettant d’autres hypothèses également assez intuitives, P étant la pression et V étant le volume du gaz de masse M.
(2) {\text{P V}=\frac{1}{3} M u^2}
On en déduit
(3) {\text{U}= \frac{3}{2} \text{P V}}
Une hypothèse plus subtile, dite d’équirépartition de l’énergie,selon laquelle l’énergie cinétique, de rotation ou de translation, est équirépartie sur chaque degré de liberté, permet d’établir l’énergie d’un gaz diatomique comme étant
(4) {\text{U}= \frac{5}{2} \text{P V}}
Toutes les hypothèses évoquées sont celles de la théorie connue sous le nom de théorie cinétique des gaz.
On connaît depuis longtemps la formule empirique, qui est validée par l’expérience avec un niveau de précision suffisant pour les applications aéronautiques courantes
(5) {\text{P V}= \text{n R T}}, où T est la température, et {\text{n} = \frac {N}{\mathcal{N_A}} } le nombre de moles du gaz, quotient du nombre de molécules composant notre gaz par le nombre d’Avogadro, que l’on peut écrire aussi
(6) {\text{P V} \text{ = N } k_B \text{ T} }, avec {k_B = \frac {R}{\mathcal{N_A}}} la constante de Boltzmann.
La température de cette formule empirique (5) n’a pas d’autre définition que celle donnée par un thermomètre. Mais en rapprochant (5) et (4) on peut définir la température d’un gaz comme une grandeur intensive proportionnelle à l’énergie cinétique moyenne des particules qui le composent. Cette définition de la température est ma préférée, bien qu’elle ne s’applique qu’aux gaz. La définition purement expérimentale de la température par la lecture du thermomètre est frustrante car on ne voit pas trop de quoi il s’agit, la définition de la température à partir de l’entropie, qu’on ne verra pas ici, est tellement abstraite qu’on ne voit pas non plus de quoi il s’agit.
La théorie cinétique des gaz nous permet donc de conclure que l’énergie interne d’un gaz diatomique répondant aux hypothèses de cette théorie ne dépend que de la température:
(7) {\text{U}= \frac{5}{2} \text{  N } k_B \text{ T}= \frac{5}{2} \text{  n } R \text{ T}}
On parlera de gaz parfait lorsque ces hypothèses sont satisfaites. En particulier, l’air étant un gaz composé essentiellement de d’Azote et d’Oxygène diatomiques, on supposera que la formule (4) s’applique à l’air das les conditions d’utilisation de nos aéronefs, qui est le seul gaz que nous considérerons dans la suite.

Échange d’énergie sous forme de chaleur
Vous avez constaté que si vous laissez votre café chaud dans sa tasse, au bout d’un certain temps il sera à la même température que celle de la pièce. Si vous faites l’expérience avec un volume d’air dans un récipient hermétique vous aurez le même résultat: les températures finissent par s’égaliser. On dira qu’une quantité de chaleur, notée Q, ou δQ si elle est infiniment petite, la chaleur étant une grandeur homogène à l’énergie, est passé de l’air à la pièce, et que l’énergie interne de l’air a diminuée exactement de cette quantité. La théorie cinétique des gaz ne nous est ici d’aucune utilité pour comprendre par quel mécanisme l’énergie interne a varié, c’est un savoir purement expérimental.

Échange d’énergie sous forme de travail

Transfert d’énergie sous forme de travail
Lorsqu’une force extérieure est appliquée sur le piston, et que la position du piston bouge de dx, un travail
{\delta W= - S P_e dx = - P_e dV}
est échangé avec l’extérieur, qui augmente ou diminue l’énergie interne de l’air contenu dans le piston.
Si on n’envisage que les échanges d’énergie sous forme de chaleur et de travail, qu’on généralise l’échange de travail à toute variation de volume, et qu’on suppose qu’au cours du processus, la pression interne et la pression interne restent identiques (P=Pe), la variation d’énergie de l’air sera
(8) {\text{dU}= \delta Q - P dV}

Capacité thermique
Quelle sera l’augmentation de température ΔT d’une masse d’air donnée si on lui apporte une quantité de chaleur Q donnée?
Considérons en premier un échange isochore, c’est à dire à volume constant, en bloquant le piston dans notre dispositif expérimental. Dans un échange de chaleur isochore, dV=0. La relation (8) devient donc
(9) {\text{dU}= \delta Q } pour un échange de chaleur isochore.
En différentiant (7) on obtient
(10) {\text{dU}= \frac{5}{2} \text{  n } R \text{ dT}}
(9) et (10) nous permettent d’établir
(11) {\delta Q= \frac{5}{2} \text{  n } R \text{ dT}}
En intégrant
(12) { Q= \frac{5}{2} \text{  n } R \Delta T } pour un échange de chaleur isochore, c’est la réponse à la question posée.
On envisage maintenant un processus isobare: quelle sera l’augmentation de température ΔT d’une masse d’air donnée si on lui apporte une quantité de chaleur Q donnée à pression constante, c’est à dire le piston de notre dispositif expérimental étant laissé libre de se déplacer? La relation (8) devient, en ajoutant d(P.V)=V.dP+P.dV de chaque coté,
(13) {\text{d(U + P.V)}= \delta Q + V dP }.
Pour un processus isobare, dP=0, la relation (13) devient donc
(14) {\text{d(U + P.V)}= \delta Q } pour un processus isobare
Soit, en utilisant (5) et (7)
{ d(\frac{5}{2} \text{  n } R \text{ T}+ \text{  n } R \text{ T})= \delta Q }, et enfin
(15) { \delta Q= \frac{7}{2} \text{  n } R \text{ dT}} pour un processus isobare.
En intégrant
(16) { Q= \frac{7}{2} \text{  n } R \Delta T} pour un processus isobare, c’est la réponse à la question posée.

Coefficients thermiques.
Les manuels définissent
l’enthalpie (17) H = U + P V et les coefficients thermiques { C_v=(\frac{\partial U}{\partial T})_v } à volume constant et { C_p=(\frac{\partial H}{\partial T})_p } à pression constante.
Pour le cas particulier des gaz parfait, l’énergie et l’enthalpie ne dépendant que de la température, on peut écrire
(18) { C_v=\frac{dU}{dT} } pour un gaz parfait
(19) { C_p=\frac{dH}{dT} } pour un gaz parfait
De (7) on tire
(20) { C_v = \frac{5}{2} \text{  n } R   } pour un gaz diatomique,
et de (7) et (5) on tire
(21) { C_p = \frac{7}{2} \text{  n } R   } pour un gaz diatomique.
On note que Cv et Cp sont des grandeurs extensives et sont constantes pour un gaz diatomique.
(11) et (15) s’écriront aussi
(22){\delta Q= C_v \text{ dT}} à volume constant,
(23) {\delta Q= C_p \text{ dT}} à pression constante.
(13) peut s’écrire en utilisant la définition (17) de l’enthalpie
(24) {\text{dH}= \delta Q + V dP }.

Processus adiabatique
Nous allons la plupart du temps envisager des masses d’air que nous supposerons ne pas échanger d’énergie avec l’extérieur sous forme de chaleur, on parlera de compression/détente adiabatique dans ce cas. On considère en général qu’on peut négliger l’échange de chaleur si le processus ne dure pas longtemps (mais assez longtemps quand même pour que l’hypothèse Pe=P, formulée plus haut pour établir (8), reste valable). Pour un tel processus (8) et (24) deviennent, δQ étant nul,
(25) {\text{dU}= - P dV} pour un processus adiabatique
(26) {\text{dH}=+ V dP } pour un processus adiabatique
(18) peut s’écrire (27) dU = Cv dT
(19) peut s’écrire (28) dH = Cp dT
(25) et (27) donnent (29) {C_v dT = - P dV}
(26) et (28) donnent (30) {C_p dT = + P dV}
En éliminant dT entre (29) et (30) on obtient
(31) {\frac{P}{C_v} dV + \frac{V}{C_p} dP =0} pour un processus adiabatique
On pose (32) {\gamma = \frac{C_p}{C_v}}
On note que γ, quotient de deux grandeurs extensives, est une grandeur intensive. Pour l’air {\gamma = \frac{7}{5}}.
(31) devient, après division par P.V et multiplication par Cp,
(33) { \gamma \frac{dV}{V} + \frac{dP}{P}  =0}
Si γ est constant, (33) devient
(34) { d(P.V^\gamma) =0} ou encore,
(35) {\mathbf{ P.V}}γ constant au cours d’un processus adiabatique, relation connue sous le nom de loi de Laplace.
On note que la loi de Laplace est valable non seulement pour l’air, mais aussi pour tout gaz dont l’enthalpie et l’énergie ne dépendent que de la température et dont γ est constant au cours du processus.

Règles d’exploitation en ULM

L’arrêté du 24 juillet 1991 relatif aux conditions d’utilisation des aéronefs civils en aviation générale fixe les règles d’exploitations des ULM en France. J’ai noté au cours de mon activité d’instructeur que certaines règles étaient souvent méconnues.

Article 5.6.3. Le commandant de bord doit s’assurer avant tout vol que les quantités de carburant (…) lui permettent d’effectuer le vol prévu avec une marge acceptable de sécurité. Article 5.6.4. Nul ne peut entreprendre un vol local au voisinage de son lieu de départ si ne sont embarquées les quantités de carburant nécessaires pour voler (…) 30 minutes
Vous ne devez donc pas décoller avec moins de 30 minutes de carburant
, et quel que soit le vol, vous devez évaluer vous même une marge acceptable de sécurité, c’est à dire que si vous prévoyez un voyage de 30 minutes pour aller quelque part, il faut prévoir davantage que 30 minutes de carburant.

Article 5.6.3. En aucun cas ces quantités ne doivent être inférieures à celles nécessaires pour atteindre la destination prévue compte tenu des plus récentes prévisions météorologiques, du régime et de l’altitude prévus, ou à défaut, les quantités nécessaires sans vent majorées de dix pour cent
Les prévisions de vent sont désormais facilement accessibles. Vous devez lors de la préparation d’un voyage tenir compte du vent.
Le texte vous dit que si vous n’avez pas accès aux prévisions de vent, vous devez ajouter 10% pour être en règle. Avec 30km/h de vent de face, ce qui n’est pas rare, si votre ULM vole à 120km/h, et que vous avez prévu une heure de carburant majorée de 10%, soit 1h et 6 minutes de carburant, vous tomberez en panne d’essence au bout de 99km, 21 km avant votre destination. 10% ça ne suffit pas!

Article 5.6.5. Nul ne peut poursuivre un vol au voisinage d’un site d’atterrissage approprié si ne subsistent à bord les quantités de carburant nécessaires pour voler pendant quinze minutes.Chaque fois que vous identifiez un champ sur lequel il est possible d’atterrir, vous devez vous demander: ai-je plus de 15 minutes d’essence? Si oui, vous pouvez poursuivre. Sinon, vous devez vous poser. Ce qui veut dire que si vous avez dans votre réservoir lors de l’atterrissage moins de 15 minutes de carburant diminué du temps nécessaire à la manœuvre d’approche et d’atterrissage, vous êtes en infraction.
Dans notre exemple précédent, il vous faudra initier la manœuvre d’atterrissage dans un champ après 51 minutes de vol, et ne pas attendre d’être en panne au bout d’1h06mn.

Article 4.4.1. Un pilote ne peut exercer la fonction de commandant de bord (…) sur un aérodyne transportant des passagers s’il n’a effectué, dans les trois mois qui précèdent, au moins trois décollages et trois atterrissages sur un aérodyne de même classe .
Même si le carnet de vol n’est pas obligatoire en ULM, il est obligatoire d’avoir cette expérience récente pour prendre des passagers.

Influence du vent sur le temps de vol (2): méthode du temps corrigé.

Le temps pour parcourir la distance D à la vitesse Vp s’il n’y a pas de vent, est {\text{T}_{\text{sv}}=\frac{D}{ V_p}}. Le temps pour parcourir la même distance s’il y a du vent de vitesse W, l’angle au vent étant comme à notre habitude noté θ, est {T=\frac{D}{ V_p-W.\cos \theta }} .
Comme à notre habitude, W est toujours positif, θ est plus petit que 90° s’il y a une composante de face, et plus grand s’il y a une composante favorable. On vérifie bien que T est supérieur à Tsv s’il y a une composante de face, c’est à dire si θ<90°.
Dans les manuels, on désigne par t le nombre approximatif de minutes (respectivement de secondes) qu’il faut ajouter au temps sans vent exprimé en heures (respectivement en minutes) pour obtenir le temps en tenant compte du vent. Nous noterons te le nombre exact de minutes (respectivement de secondes). On détermine aisément
{t_e=60.\frac{T-\text{T}_{\text{sv}}}{ \text{T}_{\text{sv}}}}
Développons, en utilisant les notations de notre précédent article relatif au triangle des vitesses
\frac{t_e}{60}={\frac{T-\text{T}_{\text{sv}}}{ \text{T}_{\text{sv}}}}={\frac{\frac{D}{ V_p-W.\cos \theta }-\frac{D}{ V_p}}{ \frac{D}{ V_p}}}= {(\frac{1}{ 1-\frac{W}{ V_p}.\cos \theta }-1)}= {(\frac{1}{ 1-\sin X_m.\cos \theta }-1)}
Sin Xm cos θ étant, en valeur absolue, plus petit que 1 (sauf si la dérive est de 90°, auquel cas te est infini et le calcul est terminé), notre expression peut s’écrire (avec Xm en radians)
{\frac{t_e}{60}=\sum_{n=1}^{\infty} {(\sin X_m.\cos \theta)}^{n}}=X_m.\cos \theta+X_m^2.\cos^2 \theta+X_m^3.(\cos^3 \theta -\frac{\cos \theta}{6})+....
Pour une dérive exprimée en degrés l’expression devient {\frac{3}{\pi} t_e =X_m.\cos \theta+ \frac{\pi}{180} X_m^2.\cos^2 \theta+\frac{\pi^2}{180^2}. X_m^3.(\cos^3 \theta -\frac{\cos \theta}{6})+.... }
Si la dérive max Xm est suffisamment petite, alors tous les termes de la somme deviennent négligeables à l’exception du premier, et l’expression devient, si on arrondi π à 3, te≃Xm cos θ, formule donnée dans tous les manuels. Dans la suite, comme dans les manuels, on pose t=Xm cos θ.
Considérons maintenant qu’il faut aller jusqu’au deuxième terme de la somme, ce qui revient à approcher notre résultat au moyen d’une parabole et non plus d’une droite. En arrondissant π à 3, on obtient:
{t_e\simeq { X_m.\cos \theta}+ {\frac{X_m^2}{60}.\cos ^2\theta}=t+\frac{t^2}{60}}.
On note en général dans les manuels ce deuxième terme t″, et on définit le temps corrigé par
tc=t+t″, avec t=Xm cos θ et t″{=\frac{t^2}{60}}
Exemple: Le vent W est de 30kt, ma vitesse propre Vp est de 120kt, l’angle au vent est 60°. On a cos θ= cos 60°= 0.5
Fb {=\frac{60}{V_p}= \frac{60}{120}= \frac{1}{2}}=0.5
Xm=Fb x W = 0.5 x 30 = 15°
t=Xm cos θ = 15 x 0.5 = 7.5s
t″{=\frac{t^2}{60}= \frac{7.5^2}{60}= \frac{56.25}{60}}=0.9s.
On en déduit qu’avec le vent de face, il faudra ajouter 7.5+0.9= 8.4 minutes par heure (ou secondes par minute) au temps calculé sans vent, et qu’avec le vent dans le dos il faudra retrancher 7.5-0.9=6.6 minutes par heure (ou secondes par minute) au temps calculé sans vent. Ces formules approchées donnent un résultat très voisin de la réalité (dans notre exemple 8.4 et 6.6 pour des valeurs exactes de 8.6 et 6.7), et peuvent être utilisées en calcul mental pour ajuster en fonction du vent vos temps de parcours, que ce soit pour une longue navigation ou au cours d’une attente en hippodrome. En pratique, en calcul mental on arrondi t et tc à la seconde ou minute la plus voisine bien entendu, et on peut même souvent négliger tc.

Vous voyez sur le graphique, pour une distance de 100NM à parcourir à la vitesse propre de 100kt, le nombre de minutes à ajouter (partie gauche du graphique avec du vent de face) ou retrancher (partie droite du graphique avec vent de dos) au temps sans vent d’une heure, en fonction du vent pour chacune des méthodes de correction (calcul exact, méthode du t, méthode du temps corrigé). Les résultats sont sans surprise: plus la méthode est facile à mettre en œuvre, moins elle est précise, et plus le vent est fort, moins les méthodes approchées sont précises. On voit cependant que la méthode du temps corrigé reste d’une précision tout à fait opérationnelle même avec des vents assez fort.
(Le graphique suppose que le vent est dans l’axe de la route, soit de face, soit de dos. )
Ci-dessous mon dernier vol, qui vous montre que le vent peut être très fort, et presque dans l’axe…

130kt de vent de face à l’aller,
107 kt de composante favorable au retour.
À l’aller, la vitesse propre Vp était d’environ 273kt dans les conditions du moment. L’angle au vent était si faible qu’on peut considérer que cos θ= 1
Fb {=\frac{60}{V_p}= \frac{60}{273}}=0.2
Xm=Fb x W = 0.2 x 130 = 26°
t=Xm cos θ = 26 x 1 = 26
t″{=\frac{t^2}{60}= \frac{26^2}{60}= \frac{676}{60}}=11.
Soit tc26+11=37 mn de plus par heure de vol, pour un résultat réel de {60 . ( \frac{273}{273-130}-1 )}=55mn.
Vous constatez qu’avec un vent très fort, les formules enseignées ne peuvent plus être utilisées. Cependant ces situations sont exceptionnelles. De plus la photographie de l’aller a été prise au moment où l’avion atteignait son altitude de croisière et n’avait pas encore accéléré à sa vitesse propre de croisière.
Enfin, ne soyez pas affolé par l’idée d’élever au carré et de diviser par 60 de tête. Vous savez que 252 fait 625. Vous savez que 625/60 fait un peu plus de 10. Donc votre résultat réel sera d’un peu plus de 10, soit 11. Et même si vous vous trompez de quelques unités, ce ne sera pas très important, l’important étant de faire les corrections dans le bon sens.
Un dernier exemple qui anticipe sur le prochain article qui traitera de l’attente: vous êtes dans un avion aussi bien équipé que celui de mon dernier vol, qui vous indique une composante de vent de face de 25kt, votre vitesse propre est de 150kt et vous souhaitez parcourir en une minute la distance que vous auriez parcourue sans vent. Fb=60/150= 0.4, t= 25 x 0.4 = 10 secondes, t″= 102/60=100/60=2 (on arrondi vers le haut si le vent est de face). Le résultat est donc 1mn12 secondes, c’est la valeur exacte(60×150/125), notre arrondi a corrigé l’erreur due à notre approximation. Avec le vent de dos, la méthode vous donne 60- (10 -1) =51 secondes (on arrondi vers le bas avec un vent favorable), pour une valeur exacte de 60×150/175= 51.4 secondes. On peut trouver plus simple de calculer directement, mais je me devais de vous exposer la méthode qui est encore largement enseignée.

Triangle des vitesses

Le schéma est extrait d’un document dénommé Calcul mental : triangle des vitesses, librement disponible sur le site de l’ACAT. L’angle entre la route et le cap est appelé dérive, noté X. X est l’abréviation du mot cross, crosswind voulant dire vent de travers. L’angle entre la route et le vent, noté θ, est appelé angle au vent. La vitesse du vent est notée Vv sur le schéma. Je préfère dans la suite la noter W, W comme wind.
Lors de la préparation d’un vol, j’ai une prévision de vent et j’ai calculé ma vitesse propre (Vp), et j’aimerais connaître, pour préparer ma navigation, la vitesse sol (Vs) et la dérive. Une fois en vol, je pourrai évaluer la dérive et la vitesse sol à l’aide du compas, d’un chronomètre et de repères au sol, ou plus simplement en m’aidant du GPS, et j’aimerais pouvoir en déduire la force et la direction du vent.
Posons les équations reliant toute ces valeurs.
(1){V_p \cos \, X -W \cos \, \theta =V_s }
(2){V_p \sin \, X -W \sin \, \theta =0}
Arrêtons nous un instant sur ces formules pour examiner les conventions que nous avons adoptées. Si l’angle au vent est nul, (2) nous dit que a dérive est nulle, et (1) qu’il faut retrancher le vent de la vitesse propre pour trouver la vitesse sol. Nous adopterons la convention que le vent est toujours positif, qu’un angle au vent inférieur à 90° veut dire qu’on subit une composante de face, et qu’un angle au vent supérieur à 90° veut dire qu’on bénéficie une composante favorable. Le signe de l’angle au vent correspond à un vent de droite ou de gauche, nous considérerons que le signe est toujours positif, et que le vent vient de gauche.
Intéressons nous en premier à la dérive
On déduit de (1) et (2)
(3){ X= \arcsin (\frac{W}{V_p} \sin \theta)}.
Si nous désignons par Wx = W sinθ la composante du vent perpendiculaire à la route, nous obtenons
(4){ X= \arcsin (\frac{W_x}{V_p})}.
Nous avons déjà évoqué la formule {\sin  \alpha \simeq \frac{\alpha}  {60}}, avec α exprimé en degrés, qui peut s’écrire aussi {\arcsin a \simeq 60  a}, l’angle étant là aussi exprimé en degrés, qui consiste à approcher le sinus par sa corde à 30°. Cette formule approchée donne des valeurs exactes pour les angles 0° et 30°, est très précise entre 0° et 30°, et l’erreur devient significative pour des angles dont le sinus dépasse significativement ½. Si on approche le sinus par cette formule la formule (4) devient
(5){ X\simeq \frac{60}{V_p}W \sin \theta=\frac{60}{V_p}W_x}.
En France et, à ma connaissance, nulle part ailleurs, on définit le facteur de base Fb comme le nombre de minutes qu’il faut pour parcourir un NM. Selon le contexte, il s’agit de parcourir un NM air ou un NM sol. Ici il s’agit d’un NM air. Si la vitesse est exprimée en kt, on donc { F_b= \frac{60}{V_p} }. (5) peut donc s’écrire
(6) X≃Fb.W.sinθ = Fb.Wx
Cette formule est très précise tant que Wx ne dépasse pas la moitié de la vitesse propre. L’erreur est inférieure à 2½° si Wx=0.7 Vp, dépasse 5° si Wx=0.8 Vp, dépasse 10° si Wx=0.9 Vp, et atteint 30° si Wx=Vp, c’est à dire si le vent est plein travers et égale la vitesse propre. Dans ce cas extrême, la dérive est de 90°, alors que la formule approchée donne une dérive de 60°.
Dans la suite, nous considérerons que Wx est toujours suffisament petit pour que (6) puisse s’appliquer.
(3) nous permet sans surprise de déterminer que la dérive maximum, notée Xm, est obtenue lorsque l’angle au vent est de 90°:{ X_m= \arcsin (\frac{W}{V_p})}, d’où on tire
(7)Xm≃Fb.W, et de (6) et (7) on obtient enfin
(8)X≃Xm sinθ, formule donnée par tous les manuels, qui est donc utilisable tant que Wx=W sinθ ne dépasse pas significativement la moitié de la vitesse propre. Je vous conseille maintenant la lecture des documents accessibles par le lien donné en début d’article, qui vous donneront de précieux conseils pratiques sur l’utilisation de cette formule.

De (1) et (2) on peut tirer
(9){ V_s= \sqrt{ (V_p^2- W^2 \sin^2 \theta)}-W \cos \theta}, qui donne la vitesse sol en fonction de la force et direction du vent, et de la vitesse propre. Les manuels appellent vent effectif, que je noterai We=W.cosθ, la composante longitudinale du vent. On peut ainsi écrire (9) en fonction du vent effectif We
(10){ V_s= \sqrt{ (V_p^2- W^2 \sin^2 \theta)}-W_e}
Le schéma ci-dessus, tiré du document cité en tête de cet article, rend plus parlante la formule alternative
(11)Vs=Vp.cosX-W.cosθ=Vp.cosX-We,
qu’on peut aussi écrire
{ \frac {V_s}{V_p} = \cos X - \frac {W}{V_p}\cos \theta}, ou encore
(12){ \frac {V_s}{V_p} = \cos X - \sqrt{ (\frac {W}{V_p})^2- \sin^2 X}}.
Les manuels proposent la formule
(13)Vs≃Vp-W.cosθ=Vp-We, en considérant implicitement que la dérive est toujours suffisamment petite pour qu’on puisse en négliger le cosinus.
Prenons un exemple typique de voyage à 100kt de vitesse propre avec un vent de 20kt. Si le vent est plein travers, les manuels (13) nous disent que la vitesse sol sera égale à la vitesse propre. Avec du vent de travers, vous devrez mettre le nez dans le vent, et donc votre vitesse sol sera inférieure à votre vitesse propre: vous n’avez pas besoin de faire de trigonométrie pour vous convaincre alors que la formule (13) n’est pas exacte, en en faisant, vous saurez de combien: (5) nous donne une dérive de X≃Fb.W.sinθ = 0.6×20=12°, la différence entre (11) et (13) permet de calculer que l’écart entre l’approximation et la réalité est de 1-cos(12°)≃2% , l’approximation est dans ce cas justifiée. Si le vent est de 50kt, (5) nous donne une dérive de X≃Fb.W.sinθ = 0.6×50=30°, la vitesse propre sera de 100kt x cos(30°)=87kt. Dans ce cas, pour obtenir la vitesse sol, il faut diminuer de 13% la vitesse donnée par l’approximation de la formule (13). Dans le tableau ci-dessous, on trouvera pour différente valeurs de la dérive et du rapport { \frac {W}{V_p}} la proportion, en %, dont il faut diminuer le résultat de la formule (13) pour obtenir une valeur exacte.


{ \frac {W}{V_p}}20%30%40%50%60%70%
Dérive 10°-2%-2%-2%-3%-4%-5%
Dérive 15°-4%-5%-6%-7%-10%
Dérive 20°-8%-9%-12%-15%
Dérive 25°-13%-16%-21%
Dérive 30°-13%-20%-26%
Dérive 35°-22%-30%

Par exemple, si le vent est de 30kt et ma vitesse propre de 100kt, si je subis une dérive de 15°, je dois minorer le résultat de la formule (13) de 4% pour trouver la valeur juste.
D’un point de vue pratique, tout le monde utilise la formule (13), mais il faut avoir en tête qu’une forte dérive conduit à surestimer la vitesse propre si on utilise la formule (13), et donc arrondir la vitesse trouvée vers le bas va dans le sens de la sécurité.

Formules pour l’IFR (4): anticipation de virage pour intercepter un axe

Je souhaite rejoindre l’ILS pour la piste 25, axé sur 250°.
Ma route actuelle, donnée par mon cap corrigé du vent, est 340°.
Actuellement mon ADF m’indique que la route pour rejoindre l’aéroport est au 270°. Je suis donc au sud de l’axe ILS.
Il y a 40 secondes, sur la même route, mon ADF m’indiquait 280°.
Quand dois-je initier mon virage à gauche pour me trouver sur l’axe de l’ILS en sortie de virage?
La première formule que nous allons voir dans cet article permet de déterminer par un calcul mental très simple que je suis à 4 minutes de l’aéroport.
La deuxième formule que nous allons voir permet, aussi par un calcul mental très simple, de déterminer que si j’initie un virage à gauche au taux 1 lorsque mon ADF indiquera que je suis à 5° de l’axe, soit sur un QDM 255°, je serai parfaitement aligné sur l’axe en sortie de virage. Notez que l’aiguille de mon localizer ne commencera à donner une indication précise que lorsque je serai à 2½° de l’axe: si j’attends ce moment pour virer, il sera trop tard pour m’aligner proprement.

Distance à une balise
Si on parcourt α degrés d’un arc de cercle de rayon r centré sur une balise, la distance parcourue est {{D}=\frac{\alpha \, \pi \, r}{180 }}.
On a donc {{r}=\frac{D}{\alpha }.\frac{180}{\pi }}
Divisons les deux membres par la vitesse sol v, est faisons l’approximation habituelle {\pi \simeq 3}, ou encore {\frac{180}{\pi}\simeq 60}, on obtient alors
{\frac{r}{v}=60\frac{\frac{D}{v}}{\alpha}}
{\frac{r}{v}} est la durée T qu’on mettrait pour rejoindre la balise, et {\frac{D}{v}} est la durée t pour parcourir l’arc de cercle.
On peut donc conclure que si on parcourt α degrés d’un arc de cercle centré sur une balise en t secondes, la durée pour rejoindre la balise est {\textbf{T=}\frac{\textbf{t}}{\mathbf{\alpha}}} minutes
Exemple
Je parcours 10° en 30 secondes sur un arc centré sur une balise, il me faut 30/10=3 minutes pour rejoindre la balise.

Anticipations de virage
Cette partie est très importante pour être à l’aise en évolution IFR. Vous devrez faire un petit effort pour bien comprendre, mais vous serez récompensés par une plus grande aisance lors des exercices IFR.
Je souhaite rejoindre une balise radio électrique sur un axe, par exemple un VOR sur l’axe 250°. Mon but sera atteint quand je serai sur une route à 250° qui me conduira à la verticale de la balise.
Je saurai que je suis correctement positionné
1- en voyant l’aiguille de mon VOR centrée avec l’OBS sur 250°,
2-l’affichage TO,
3-et en ayant une route au 250°, c’est à dire un cap qui, corrigé de la dérive, donne une route au 250°.
Il faut les trois conditions, demandez vous pourquoi.

Je rejoins l’axe sous un certain angle appelé angle d’interception i. Par exemple 30° (avec une route au 220° si je viens du nord, ou au 270° si je viens du sud), mais il se peut ce soit davantage, voire au delà de 90°.
Je ne connais pas la distance à la balise, mais mon HSI me donne aussi le QDM de la balise.
Comment savoir à quel QDM je dois commencer à virer vers 250° au taux 1 pour tomber pile sur l’axe? Autrement dit quel est l’angle d’anticipation α défini comme l’écart entre le QDM auquel je commence à virer et l’axe affiché sur l’OBS?
Je suppose que je connais la durée T pour rejoindre la balise (en minutes), par exemple grâce à la méthode exposée plus haut. Si on note d la distance à la balise et r le rayon du virage exécuté pour rejoindre l’axe, on peut poser d sin α = r (1 – cos i), ou encore {\alpha= \arcsin \frac{r( 1-\cos \, i)} {d}}. En remplaçant d par le produit de la durée T et de la vitesse v, et r par { \frac{v} { \pi}}, sa valeur trouvée dans un précédent article, la vitesse se simplifie et on trouve (A){\alpha= \arcsin \frac{ 1-\cos \, i} { \pi \ T }}

Vous connaissez probablement déjà la formule {\sin x \simeq \frac{x} {60}}, avec x exprimé en degrés, qui consiste à approcher le sinus par sa corde à 30°. Cette formule approchée donne des valeurs exactes pour les angles 0° et 30°, et des valeurs très précises entre 0° et 30°. Pour notre calcul, nous allons approcher le sinus par la formule {\sin x \simeq \frac{x} {20\pi } \simeq \frac{x} {63}}, ou encore { {\arcsin x } \simeq {20\pi } {x}}, formule qui approche le sinus par sa corde à environ 42¼°. L’erreur ne dépasse 1½° qu’au delà d’un sinus de ¾, soit environ 50°. Dans la plupart des cas, l’angle d’anticipation sera très largement inférieur à 50°, dans la vie courante du pilote il dépasse rarement 10°, l’approximation est donc pleinement justifiée.
L’intérêt de cette approximation est qu’elle permet de simplifier considérablement la formule (A) qui devient (B) {\alpha \simeq \frac{ 20 (1-\cos \, i)} { \ T }}

Poursuivons en approchant la formule { 1-\cos i} par sa corde entre les points 60° et 120°:  {1-\cos \, i \simeq \frac{ i} {60}-\frac{1} {2} }. Cette formule donne des valeurs exactes pour 60°, 90° et 120°. L’erreur de cette approximation ne dépasse pas ½° entre 60° et 120°. À 45° et 135° l’erreur est de 4°, mais l’approximation diverge fortement en deçà de 45° et au delà de 135°.
On arrive alors à la formule suivante, valable pour des angles d’interception supérieurs à 45° et inférieurs à 135°.
(C) {\alpha\simeq \frac{ \frac{i}{3}-10} { \ T }}

Formules donnant l’angle d’anticipation en fonction de la durée T pour rejoindre la station et de l’angle i d’interception

Angle d’interception i (B)
Formule approchée {\alpha\simeq \frac{{ 20} (1-\cos \, i)} {\ T }}
(C)
Formule approchée {\alpha \simeq \frac{\frac{i}{3}-10} { \ T }}
Formule approchée donnée par les manuels
30°{\frac{3} {T}}{0}{\frac{3} {T}}
45°{\frac{6} {T}}{\frac{5} {T}}{\frac{6} {T}}
60°{\frac{10} {T}}{\frac{10} {T}}{\frac{10} {T}}
75°{\frac{15} {T}}{\frac{15} {T}}
90°{\frac{20} {T}}{\frac{20} {T}}{\frac{20} {T}}
105°{\frac{25} {T}}{\frac{25} {T}}
120°{\frac{30} {T}}{\frac{30} {T}}{\frac{30} {T}}
135°{\frac{34} {T}}{\frac{35} {T}}
150°{\frac{37} {T}}{\frac{40} {T}}
165°{\frac{39} {T}}{\frac{45} {T}}
180°{\frac{40} {T}}{\frac{50} {T}}{\frac{40} {T}}

On constate que les manuels proposent des formules sérieuses, et que notre formule (C) ne doit pas être utilisée pour des angles d’anticipation inférieurs à 50°, ni supérieurs à 135°, ainsi que nous l’avons annoncé plus haut.
En pratique, dans la vie de tous les jours du pilote, l’angle est assez faible.
On a vu dans l’exemple en tête de cet article qu’il fallait une anticipation à 5° pour un angle d’interception à 90° lorsqu’on est à 4mn de la balise. Pour une interception à 30°, il aurait fallu moins d’un degré d’anticipation, ça parait faible, mais c’est entre 1 et 2 points de localizer, ce n’est donc pas négligeable.

Enfin, notre tableau n’est valable que pour des virages au taux 1! Dès que nous volerons sur des avions plus sérieux que nos avions école, qui voleront si vite qu’ils ne pourront conserver le taux 1, il faudra les abandonner. Si vous virez au taux ½, ce que font parfois les pilotes automatiques lorsque le taux 1 fait dépasser 25° d’inclinaison, il suffit de doubler l’angle d’anticipation, mais si vous virez à un angle d’inclinaison déterminé, par exemple 25° ou 30°, alors il faudra établir une autre formule

Brevet de base: programme de formation (1) La partie théorique

Pour obtenir le brevet et la licence de base de pilote d’avion, le candidat doit, outre les conditions d’aptitude physique exigées, remplir les conditions suivantes :
1) Être âgé de 15 ans révolus ;
2) Avoir suivi une instruction au sol1

Cette instruction au sol se fera chez L8 Flight school essentiellement par la lecture des manuels et des articles de ce site étiquetés formation initiale. Il faut donc prévoir un travail personnel significatif. Lors de chaque séance d’instruction, je vous poserai des questions, en relation avec la leçon du jour, qui me permettront de vérifier que vous progressez de façon satisfaisante dans votre apprentissage théorique. Je répondrai aussi, bien entendu, aux questions que vous vous serez posés.
En outre, que vous soyez ou non élève de L8 Flight School, n’hésitez pas à poser vos questions sur le théorique Brevet de Base ou PPL en commentaire de cet article.

Vous pouvez vous présenter à l’examen du brevet de base en candidat libre, sans passer par une école, et donc je n’aurai pas d’opinion formelle à donner sur votre niveau, mais je vous la donnerai quand même si vous me la demandez.

Je recommande de préparer l’examen théorique PPL plutôt que celui du brevet de base car il est plus actuel, et aussi parce qu’aucun manuel ne prépare spécifiquement au brevet de base, tous préparent au PPL. Pour se présenter à l’examen théorique PPL vous aurez besoin de mon autorisation formelle et je vérifierai de façon formelle votre progression, car c’est obligatoire.

Le programme du brevet de base date de 1984, plus de dix ans avant que l’internet ne devienne accessible au public, et donc certaines choses, dont la façon d’obtenir des renseignements, ne sont plus à jour. Par exemple on vous demande de savoir ce qu’est le VDF mais l’utilisation du GPS n’est pas prévue.
Je demande à tous mes élèves de lire ce programme (cf. ci-dessous), et de cliquer sur les liens qui pointent vers mes articles pour les lire et les assimiler. Vous constaterez que le programme du brevet de base n’est pas réellement beaucoup plus léger que le programme du PPL.

Voici le programme d’instruction au sol du brevet de base (cf. L’arrêté du 12 janvier 1984)

1. L’avion et son équipement.
1.1. Cellule :
Aile et empennage ;
Fuselage ;
Circuit carburant ;
Circuit électrique ;
Éclairage.
1.2. Moteur :
Principe du moteur à explosion ;
Système d’allumage ;
Système d’alimentation en essence, carburant utilisé ;
Réchauffage carburateur;
Réglage du mélange air-essence ;
Principe de l’hélice ;
Puissance délivrée (pression d’admission, tours par minute) ;
Effet de l’altitude sur le rendement du groupe motopropulseur ;
Instruments moteur.
1.3. Équipement :
Indicateur de virage ;
Altimètre ;
Variomètre ;
Anémomètre ;
Compas magnétique ;
Indicateur de dérapage (bille).
2.Technique du vol
2.1. Aérodynamique :
Résultante aérodynamique ;
Principe de la sustentation;
Variation de la portance en fonction
du vent relatif et de l’incidence ;
Traînée d’une aile d’avion ;
Tourbillons marginaux ;
Hypersustentateur, aérofrein.
2.2. Forces agissant sur l’avion :
Portance ;
Traînée ;

Poids ;
Traction ;
Équilibre des forces en palier, en virage, en montée.
2.3. Gouvernes et commandes de vol (profondeur, ailerons, puissance, direction):
Effets des gouvernes ;
Effets parasites.
2.4. Symétrie du vol :
Détection et correction ;
Décrochage, autorotation.
2.5. Stabilité de l’avion :
Définition ;
Influence du centrage.
3. Utilisation de l’avion
3.1. Utilisation de l’avion :
Actions avant le vol ;
Chargement de l’avion ;
Décollage et atterrissage normal et par vent de travers ;
Turbulence de sillage, causes, précautions ;
Surveillance extérieure ;
Décollage et atterrissage courts et sur terrain mou ;
Atterrissage d’urgence ;
Utilisation des volets ;
Roulage au sol et vent fort.
3.2. Performances :
Tableau de décollage ;
Tableau de taux de ;
Tableau de croisière ;
Tableau d’atterrissage ;
Tableau de vitesses de décrochage ;
Effet de l’altitude et de la température sur les performances ;
Vitesses caractéristiques (VNE, VNO, VFE, VLE, VS) ;
Effet du vent sur les performances ;
Relation inclinaison/vitesse sur le rayon et le taux de virage ;
Décollage et atterrissage sur terrain mal dégagé ;
Meilleur angle de montée, meilleur taux de montée ;
Calcul de chargement et de centrage.
3.3. Utilisation du moteur :
Procédure du démarrage et d’arrêt du moteur ;
Givrage carburateur et effet du réchauffage ;
Limitations moteur ;
Utilisation des commandes de gaz et de richesse ;
Interprétation des instruments moteur.
4. Navigation
4.1. Orientation :
Unités usuelles de distance et de vitesse.
4.2. Cartes aéronautiques :
Propriétés des cartes aéronautiques utilisées (cartes type OACI 1/500000, radionavigation et vol à vue 1/1000000) ;
Représentation symbolique de la topographie et du relief ;
Cartes d’aérodromes.
4.3. Navigation :
Identification des repères terrestres ;
Gonio (VDF) ;
Principe ;
Conditions et précautions d’utilisation ;
Procédure d’utilisation ;
Interprétation des indications ;
Précision.
4.4. Informations aéronautiques
Manuel d’information aéronautique (AIP);
Notams.
5. Réglementation
5.1. Réglementation du personnel navigant :
Brevets, licences et qualifications du personnel navigant privé (avion seulement) :
Conditions de délivrance ;
Conditions de renouvellement ;
Privilèges ;
Carnet de vol :
Tenue ;
Décompte du temps de vol.
5.2. Réglementation du matériel volant :
Nationalité et immatriculation des aéronefs :
Certificat de navigabilité;
Certificat d’immatriculation;
Carnet de route;
Certificat d’exploitation radio;
Licence PTT de station d’aéronef;
Manuel de vol (connaissance approfondie);
Équipement de sécurité et sauvetage;
Entretien des aéronefs.
5.3. Dispositions diverses :
Réserves de carburant ;
Transport interdit ou réglementé ;
Police, contrôle sanitaire ;
Balisage des obstacles et des aérodromes ;
Transport des enfants ;
Notions sommaires d’aéromédecine ;
Précautions à prendre pour les vols en altitude.
5.4. Réglementation de la circulation aérienne :
5.4.1. Règles de l’air :
Domaine d’application ;
Choix des règles à appliquer ;
Autorité du commandant de bord ;
Protection des personnes et des biens ;
Prévention des abordages et priorité de passage ;
Signaux lumineux, feux des aéronefs ;
Règles de vol à vue.
5.4.2. Circulation aérienne :
Organisation générale
Espaces aériens contrôlés et non contrôlés ;
Service du contrôle de la circulation aérienne pour les vols VFR ;
Service d’information de vol ;
Service d’alerte ;
Procédure d’utilisation des aérodromes non contrôlés ;
Espaces aériens à statut particulier ;
Procédures de radiotéléphonie.
5.4.3. Incidents de contrôle, infractions :
Airmiss
( ce terme a été remplacé par Airprox), incidents de contrôle, réclamations ;
Infractions.
5.4.4. Incidents et accidents d’aviation :
Dispositions à prendre en cas d’irrégularité, incident ou accident.
6. Météorologie
6.1. L’atmosphère :
La pression atmosphérique: unités de mesure, variations avec l’altitude ;
La température de l’air: unités de mesure, variations en un lieu et avec l’altitude ;
L’humidité atmosphérique: notion de saturation.
6.2. Le vent :
Mesure: direction, vitesse ;
Variations avec l’altitude ;
Représentation graphique ;
Effets du relief sur le vent au sol et en altitude locaux.
6.3. Nuages et systèmes nuageux :
Les nuages: les différents types, description sommaire ;
Stabilité et instabilité de l’atmosphère ;
Notions sur les précipitations et leurs dangers aéronautiques ;
Nébulosité, plafond: définition, relation avec les conditions de vol ;
Notions élémentaires sur les fronts et les systèmes nuageux (en Europe).
6.4. Phénomènes dangereux pour l’aéronautique :
Brume et brouillard: définition, notions sur le mécanisme de formation ;
Orages: notions sur la formation des orages, dangers liés aux cumulonimbus ;
Turbulence: origine, effets sur l’avion, précautions à prendre ;
Givrage: définition, processus de formation, effets sur l’avion; détection, protection.
6.5. Assistance météorologique à l’aviation légère
Diffusion des renseignements: notions sur les réseaux d’observation, cartes synoptiques, symboles ;
Protection météorologique des vols: dispositions à prendre par le pilote avant le départ, nature des renseignements fournis (prévision de vol, exposé verbal), exploitation des renseignements pour la préparation du vol, informations météorologiques en vol.

1.cf. Arrêté du 31 juillet 1981 relatif aux brevets, licences et qualifications des navigants non professionnels (par. 4.6.1.1.)

Quelques formules pour l’IFR (3)

Dans la partie relative à l’anticipation des virages fly-by de cet article, après avoir établi la formule
{D =(\frac{i}{100}- {0.3})\frac{V}{100}},
je finissais en écrivant
On voit que l’approximation n’est valable qu’entre 60° et 120°, ce qui n’est pas trop gênant puisque:
– à moins de 60°, on anticipera en général du minimum lisible sur nos instruments, soit 0.1NM;

En fait c’est gênant pour des avions qui évoluent plus vite que les 90kt de notre Cessna 172 pendant les exercices de procédure en double commande. Les procédures IFR se pratiquent, lorsqu’on n’est plus à l’école, à plus grande vitesse et le contrôle vous demandera régulièrement de garder les 120kt aussi longtemps que possible sur un Cessna 172, et la quasi-totalité des autres avions IFR voleront bien plus vite.
30° est un angle d’interception courant pour les procédures GNSS. A 120kt il faut 0.2NM d’anticipation, à 200kt 0.3NM, bien au dessus des 0.1NM que je suggérais dans mon article précédent, et surtout s’il s’agit d’intercepter la finale, ce n’est pas le moment de dépasser l’axe!
J’ai donc cherché une formule plus adaptée au problème.
J’avais établi la formule de la distance d’anticipation (en NM pour une vitesse exprimée en kt)
{D =\frac{V}{60 \, \pi} \tan\frac{i}{2}}
La durée d’anticipation en secondes se déduit cette formule
{T =\frac{3600}{60 \, \pi} \tan\frac{i}{2}=\frac{60}{\pi} \tan\frac{i}{2}}
La formule ne dépend plus de la vitesse, c’est déjà une simplification.
En prenant pour approximation la corde de cette fonction pour un angle d’anticipation de 80°, on trouve que l’anticipation en secondes d’un virage fly-by est voisine de deux dixièmes de l’angle en degrés.
{T \simeq\frac{2}{10} i}
Quelle que soit votre vitesse, l’anticipation d’une interception à 30° doit être ainsi de 6 secondes.
Comme la durée jusqu’au prochain point est en général donné directement par votre GPS, cette formule est très facile à utiliser lors de procédures PBN. Si vous suivez une procédure classique, vous devez connaître votre temps au prochain point si vous appliquez la méthode qu’on vous a, j’espère, enseignée pendant votre apprentissage de l’IFR.
L’erreur ne dépasse pas une seconde entre 0 et 90°. Au delà de 90° cette approximation ne doit plus être utilisée. La fonction tangente étant divergente, il n’est pas possible d’envisager une approximation linéaire pour des angles significativement supérieurs à 90°

La formule établie plus haut est le fruit d’une approche purement géométrique, un instructeur expérimenté m’a suggéré une approche plus intuitive: au taux 1, je vire de 3° par seconde. Le temps pour un virage de 30° par exemple sera donc de 30/3=10 secondes, et par conséquent mon anticipation doit être de de la moitié, soit 5 secondes. Sa serait donc {T \simeq\frac{i}{6} }
Cette méthode revient à assimiler l’angle à sa tangente, ce qui n’est pas loin de la vérité tant que l’angle est petit.
En termes mathématiques, on arrive à cette formule en assimilant la fonction tangente à sa … tangente au point d’angle nul.
{\tan i \simeq \frac{\pi i}{180}}
{T =\frac{60}{\pi} \tan\frac{i}{2}\simeq\frac{60}{\pi}\frac{\pi \frac{i}{2}}{180}=\frac{i}{6}}

La formule de cet instructeur expérimenté n’est valable que pour les angles pas trop importants. Pour 90°, sa formule donne 15 secondes d’anticipation, la mienne donne 18 secondes, et la formule exacte 19 secondes. Avec une approche purement intuitive et de bon sens, on peut trouver des approximations opérationnelles sans connaître l’algèbre, mais la formule que je propose est à la fois plus simple et plus précise.