Portance d’un rotor d’hélicoptère en stationnaire

Je vais bientôt commencer ma formation au brevet de pilote d’hélicoptère. Vous trouverez donc de temps en temps sur mon blog des articles sur l’hélicoptère1.
On trouve dans le manuel technique d’utilisation de l’hélicoptère, chez Cépaduès, la formule suivante, attribuée à Froude, pour un hélicoptère en stationnaire:
V_i=\sqrt{\frac{m g}{2 \rho S_r }}
Avec
Vi la vitesse induite, vitesse du flux d’air au travers du rotor (m.s-1),
m la masse de l’hélicoptère (kg),
g l’accélération de la pesanteur (m.s-2),
ρ la densité de l’air (kg.m-3),
Sr la surface du rotor (m2).
Considérons le rotor comme un dispositif qui augmente de façon discontinue la pression au passage de l’air, sans discontinuité de vitesse. La tranche du tube de courant qui entoure le flux d’air passant au travers du rotor a une surface Sr lors du passage du rotor, et à l’infini vers le bas une surface S. La pression dans ce tube à l’infini haut et à l’infini bas est Ps, la pression statique. Juste au dessus du rotor la pression est P, juste en dessous P+. La vitesse à l’infini haut est nulle, la vitesse à l’infini bas est V.FroudeJPEG
La conservation de l’énergie dans le tube de courant entre l’infini haut et la limite haute du rotor permet d’appliquer le théorème de Bernoulli:
(A) Ps = ½ ρ Vi2 + P
Idem pour la partie basse du tube de courant:
(B) Ps + ½ ρ V2 = P+ + ½ ρ Vi2
On a considéré que l’influence de la gravité était négligeable par rapport à l’influence du rotor et, bien entendu, puisqu’on applique le théorème de Bernoulli, que la compressibilité était négligeable.
On note ΔP = P+ – P
On tire de (B)-(A)
(C) ΔP = ½ ρ V2
Le système étant établi, le débit massique est le même au passage du rotor et à l’infini bas, l’air traversant Sr pendant une durée dt a donc la même masse que l’air traversant S pendant la même durée: ρ Sr Vi dt= ρ S V dt
On a donc
(D) Sr Vi = S V
Appliquons maintenant le principe de la dynamique.
Pendant une durée dt, l’accroissement de la quantité de mouvement du système est égal à la quantité de mouvement de la tranche d’épaisseur V dt qui sort de la surface S , puisque pendant le même temps la tranche d’air qui entre par le haut a une vitesse nulle. Cet accroissement est égal à la somme des forces appliquées au système, dans notre hypothèse Sr ΔP puisqu’on a notamment négligé la pesanteur.
La quantité de mouvement de la tranche d’épaisseur V dt étant ρ S V dt V on a donc
\frac{d\vec p}{dt}= \rho S_\infty V_\infty^2
Le principe de la dynamique s’écrit donc ρ S V2 = Sr ΔP, et en combinant avec (D) on a
(E) ΔP = ρ Vi V
En éliminant ΔP entre (E) et (C) on obtient
(F) V = 2 Vi
Soit en combinant avec (E)
(G) ΔP = 2 ρ Vi 2
La machine étant en stationnaire, la portance est égale au poids, ce qui s’écrit
(H)\Delta P = \frac{m g}{ S_r }
En éliminant ΔP entre (G) et (H) on obtient V_i=\sqrt{\frac{m g}{2 \rho S_r }} CQFD sauf erreur de ma part.

Le rotor du Robinson R44 II a 198 pouces (503 cm) de rayon (p 1-3 du POH),sa surface fait donc 78 m2. La masse maximale est de 2500 livres (1134 kg), la densité standard au niveau de la mer est de 1.225 kg.m-3.
On trouve une vitesse induite de 8 m.s-1 ou 15 kt, 1500ft.mn-1, 27 km.h-1.
Il reste à faire un autre article sur les conclusions qu’on peut tirer de cette formule.
1. Je continuerai cependant à faire des articles sur les avions, surtout si vous me le demandez, et je continuerai aussi mon activité d’instructeur avion.

Auteur : Xavier

Pilote instructeur avions et ULM, pratiquant aussi le planeur, le motoplaneur et l’hélicoptère. Aeroplane and Microlight Aircrafts Flight Instructor. I also fly motorgliders, gliders and helicopters

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