Influence du vent sur le temps de vol (2): méthode du temps corrigé.

Le temps pour parcourir la distance D à la vitesse Vp s’il n’y a pas de vent, est {\text{T}_{\text{sv}}=\frac{D}{ V_p}}. Le temps pour parcourir la même distance s’il y a du vent de vitesse W, l’angle au vent étant comme à notre habitude noté θ, est {T=\frac{D}{ V_p-W.\cos \theta }} .
Comme à notre habitude, W est toujours positif, θ est plus petit que 90° s’il y a une composante de face, et plus grand s’il y a une composante favorable. On vérifie bien que T est supérieur à Tsv s’il y a une composante de face, c’est à dire si θ<90°.
Dans les manuels, on désigne par t le nombre approximatif de minutes (respectivement de secondes) qu’il faut ajouter au temps sans vent exprimé en heures (respectivement en minutes) pour obtenir le temps en tenant compte du vent. Nous noterons te le nombre exact de minutes (respectivement de secondes). On détermine aisément
{t_e=60.\frac{T-\text{T}_{\text{sv}}}{ \text{T}_{\text{sv}}}}
Développons, en utilisant les notations de notre précédent article relatif au triangle des vitesses
\frac{t_e}{60}={\frac{T-\text{T}_{\text{sv}}}{ \text{T}_{\text{sv}}}}={\frac{\frac{D}{ V_p-W.\cos \theta }-\frac{D}{ V_p}}{ \frac{D}{ V_p}}}= {(\frac{1}{ 1-\frac{W}{ V_p}.\cos \theta }-1)}= {(\frac{1}{ 1-\sin X_m.\cos \theta }-1)}
Sin Xm cos θ étant, en valeur absolue, plus petit que 1 (sauf si la dérive est de 90°, auquel cas te est infini et le calcul est terminé), notre expression peut s’écrire (avec Xm en radians)
{\frac{t_e}{60}=\sum_{n=1}^{\infty} {(\sin X_m.\cos \theta)}^{n}}=X_m.\cos \theta+X_m^2.\cos^2 \theta+X_m^3.(\cos^3 \theta -\frac{\cos \theta}{6})+....
Pour une dérive exprimée en degrés l’expression devient {\frac{3}{\pi} t_e =X_m.\cos \theta+ \frac{\pi}{180} X_m^2.\cos^2 \theta+\frac{\pi^2}{180^2}. X_m^3.(\cos^3 \theta -\frac{\cos \theta}{6})+.... }
Si la dérive max Xm est suffisamment petite, alors tous les termes de la somme deviennent négligeables à l’exception du premier, et l’expression devient, si on arrondi π à 3, te≃Xm cos θ, formule donnée dans tous les manuels. Dans la suite, comme dans les manuels, on pose t=Xm cos θ.
Considérons maintenant qu’il faut aller jusqu’au deuxième terme de la somme, ce qui revient à approcher notre résultat au moyen d’une parabole et non plus d’une droite. En arrondissant π à 3, on obtient:
{t_e\simeq { X_m.\cos \theta}+ {\frac{X_m^2}{60}.\cos ^2\theta}=t+\frac{t^2}{60}}.
On note en général dans les manuels ce deuxième terme t″, et on définit le temps corrigé par
tc=t+t″, avec t=Xm cos θ et t″{=\frac{t^2}{60}}
Exemple: Le vent W est de 30kt, ma vitesse propre Vp est de 120kt, l’angle au vent est 60°. On a cos θ= cos 60°= 0.5
Fb {=\frac{60}{V_p}= \frac{60}{120}= \frac{1}{2}}=0.5
Xm=Fb x W = 0.5 x 30 = 15°
t=Xm cos θ = 15 x 0.5 = 7.5s
t″{=\frac{t^2}{60}= \frac{7.5^2}{60}= \frac{56.25}{60}}=0.9s.
On en déduit qu’avec le vent de face, il faudra ajouter 7.5+0.9= 8.4 minutes par heure (ou secondes par minute) au temps calculé sans vent, et qu’avec le vent dans le dos il faudra retrancher 7.5-0.9=6.6 minutes par heure (ou secondes par minute) au temps calculé sans vent. Ces formules approchées donnent un résultat très voisin de la réalité (dans notre exemple 8.4 et 6.6 pour des valeurs exactes de 8.6 et 6.7), et peuvent être utilisées en calcul mental pour ajuster en fonction du vent vos temps de parcours, que ce soit pour une longue navigation ou au cours d’une attente en hippodrome. En pratique, en calcul mental on arrondi t et tc à la seconde ou minute la plus voisine bien entendu, et on peut même souvent négliger tc.

Vous voyez sur le graphique, pour une distance de 100NM à parcourir à la vitesse propre de 100kt, le nombre de minutes à ajouter (partie gauche du graphique avec du vent de face) ou retrancher (partie droite du graphique avec vent de dos) au temps sans vent d’une heure, en fonction du vent pour chacune des méthodes de correction (calcul exact, méthode du t, méthode du temps corrigé). Les résultats sont sans surprise: plus la méthode est facile à mettre en œuvre, moins elle est précise, et plus le vent est fort, moins les méthodes approchées sont précises. On voit cependant que la méthode du temps corrigé reste d’une précision tout à fait opérationnelle même avec des vents assez fort.
(Le graphique suppose que le vent est dans l’axe de la route, soit de face, soit de dos. )
Ci-dessous mon dernier vol, qui vous montre que le vent peut être très fort, et presque dans l’axe…

130kt de vent de face à l’aller,
107 kt de composante favorable au retour.
À l’aller, la vitesse propre Vp était d’environ 273kt dans les conditions du moment. L’angle au vent était si faible qu’on peut considérer que cos θ= 1
Fb {=\frac{60}{V_p}= \frac{60}{273}}=0.2
Xm=Fb x W = 0.2 x 130 = 26°
t=Xm cos θ = 26 x 1 = 26
t″{=\frac{t^2}{60}= \frac{26^2}{60}= \frac{676}{60}}=11.
Soit tc26+11=37 mn de plus par heure de vol, pour un résultat réel de {60 . ( \frac{273}{273-130}-1 )}=55mn.
Vous constatez qu’avec un vent très fort, les formules enseignées ne peuvent plus être utilisées. Cependant ces situations sont exceptionnelles. De plus la photographie de l’aller a été prise au moment où l’avion atteignait son altitude de croisière et n’avait pas encore accéléré à sa vitesse propre de croisière.
Enfin, ne soyez pas affolé par l’idée d’élever au carré et de diviser par 60 de tête. Vous savez que 252 fait 625. Vous savez que 625/60 fait un peu plus de 10. Donc votre résultat réel sera d’un peu plus de 10, soit 11. Et même si vous vous trompez de quelques unités, ce ne sera pas très important, l’important étant de faire les corrections dans le bon sens.
Un dernier exemple qui anticipe sur le prochain article qui traitera de l’attente: vous êtes dans un avion aussi bien équipé que celui de mon dernier vol, qui vous indique une composante de vent de face de 25kt, votre vitesse propre est de 150kt et vous souhaitez parcourir en une minute la distance que vous auriez parcourue sans vent. Fb=60/150= 0.4, t= 25 x 0.4 = 10 secondes, t″= 102/60=100/60=2 (on arrondi vers le haut si le vent est de face). Le résultat est donc 1mn12 secondes, c’est la valeur exacte(60×150/125), notre arrondi a corrigé l’erreur due à notre approximation. Avec le vent de dos, la méthode vous donne 60- (10 -1) =51 secondes (on arrondi vers le bas avec un vent favorable), pour une valeur exacte de 60×150/175= 51.4 secondes. On peut trouver plus simple de calculer directement, mais je me devais de vous exposer la méthode qui est encore largement enseignée.

Triangle des vitesses

Le schéma est extrait d’un document dénommé Calcul mental : triangle des vitesses, librement disponible sur le site de l’ACAT. L’angle entre la route et le cap est appelé dérive, noté X. X est l’abréviation du mot cross, crosswind voulant dire vent de travers. L’angle entre la route et le vent, noté θ, est appelé angle au vent. La vitesse du vent est notée Vv sur le schéma. Je préfère dans la suite la noter W, W comme wind.
Lors de la préparation d’un vol, j’ai une prévision de vent et j’ai calculé ma vitesse propre (Vp), et j’aimerais connaître, pour préparer ma navigation, la vitesse sol (Vs) et la dérive. Une fois en vol, je pourrai évaluer la dérive et la vitesse sol à l’aide du compas, d’un chronomètre et de repères au sol, ou plus simplement en m’aidant du GPS, et j’aimerais pouvoir en déduire la force et la direction du vent.
Posons les équations reliant toute ces valeurs.
(1){V_p \cos \, X -W \cos \, \theta =V_s }
(2){V_p \sin \, X -W \sin \, \theta =0}
Arrêtons nous un instant sur ces formules pour examiner les conventions que nous avons adoptées. Si l’angle au vent est nul, (2) nous dit que a dérive est nulle, et (1) qu’il faut retrancher le vent de la vitesse propre pour trouver la vitesse sol. Nous adopterons la convention que le vent est toujours positif, qu’un angle au vent inférieur à 90° veut dire qu’on subit une composante de face, et qu’un angle au vent supérieur à 90° veut dire qu’on bénéficie une composante favorable. Le signe de l’angle au vent correspond à un vent de droite ou de gauche, nous considérerons que le signe est toujours positif, et que le vent vient de gauche.
Intéressons nous en premier à la dérive
On déduit de (1) et (2)
(3){ X= \arcsin (\frac{W}{V_p} \sin \theta)}.
Si nous désignons par Wx = W sinθ la composante du vent perpendiculaire à la route, nous obtenons
(4){ X= \arcsin (\frac{W_x}{V_p})}.
Nous avons déjà évoqué la formule {\sin  \alpha \simeq \frac{\alpha}  {60}}, avec α exprimé en degrés, qui peut s’écrire aussi {\arcsin a \simeq 60  a}, l’angle étant là aussi exprimé en degrés, qui consiste à approcher le sinus par sa corde à 30°. Cette formule approchée donne des valeurs exactes pour les angles 0° et 30°, est très précise entre 0° et 30°, et l’erreur devient significative pour des angles dont le sinus dépasse significativement ½. Si on approche le sinus par cette formule la formule (4) devient
(5){ X\simeq \frac{60}{V_p}W \sin \theta=\frac{60}{V_p}W_x}.
En France et, à ma connaissance, nulle part ailleurs, on définit le facteur de base Fb comme le nombre de minutes qu’il faut pour parcourir un NM. Selon le contexte, il s’agit de parcourir un NM air ou un NM sol. Ici il s’agit d’un NM air. Si la vitesse est exprimée en kt, on donc { F_b= \frac{60}{V_p} }. (5) peut donc s’écrire
(6) X≃Fb.W.sinθ = Fb.Wx
Cette formule est très précise tant que Wx ne dépasse pas la moitié de la vitesse propre. L’erreur est inférieure à 2½° si Wx=0.7 Vp, dépasse 5° si Wx=0.8 Vp, dépasse 10° si Wx=0.9 Vp, et atteint 30° si Wx=Vp, c’est à dire si le vent est plein travers et égale la vitesse propre. Dans ce cas extrême, la dérive est de 90°, alors que la formule approchée donne une dérive de 60°.
Dans la suite, nous considérerons que Wx est toujours suffisament petit pour que (6) puisse s’appliquer.
(3) nous permet sans surprise de déterminer que la dérive maximum, notée Xm, est obtenue lorsque l’angle au vent est de 90°:{ X_m= \arcsin (\frac{W}{V_p})}, d’où on tire
(7)Xm≃Fb.W, et de (6) et (7) on obtient enfin
(8)X≃Xm sinθ, formule donnée par tous les manuels, qui est donc utilisable tant que Wx=W sinθ ne dépasse pas significativement la moitié de la vitesse propre. Je vous conseille maintenant la lecture des documents accessibles par le lien donné en début d’article, qui vous donneront de précieux conseils pratiques sur l’utilisation de cette formule.

De (1) et (2) on peut tirer
(9){ V_s= \sqrt{ (V_p^2- W^2 \sin^2 \theta)}-W \cos \theta}, qui donne la vitesse sol en fonction de la force et direction du vent, et de la vitesse propre. Les manuels appellent vent effectif, que je noterai We=W.cosθ, la composante longitudinale du vent. On peut ainsi écrire (9) en fonction du vent effectif We
(10){ V_s= \sqrt{ (V_p^2- W^2 \sin^2 \theta)}-W_e}
Le schéma ci-dessus, tiré du document cité en tête de cet article, rend plus parlante la formule alternative
(11)Vs=Vp.cosX-W.cosθ=Vp.cosX-We,
qu’on peut aussi écrire
{ \frac {V_s}{V_p} = \cos X - \frac {W}{V_p}\cos \theta}, ou encore
(12){ \frac {V_s}{V_p} = \cos X - \sqrt{ (\frac {W}{V_p})^2- \sin^2 X}}.
Les manuels proposent la formule
(13)Vs≃Vp-W.cosθ=Vp-We, en considérant implicitement que la dérive est toujours suffisamment petite pour qu’on puisse en négliger le cosinus.
Prenons un exemple typique de voyage à 100kt de vitesse propre avec un vent de 20kt. Si le vent est plein travers, les manuels (13) nous disent que la vitesse sol sera égale à la vitesse propre. Avec du vent de travers, vous devrez mettre le nez dans le vent, et donc votre vitesse sol sera inférieure à votre vitesse propre: vous n’avez pas besoin de faire de trigonométrie pour vous convaincre alors que la formule (13) n’est pas exacte, en en faisant, vous saurez de combien: (5) nous donne une dérive de X≃Fb.W.sinθ = 0.6×20=12°, la différence entre (11) et (13) permet de calculer que l’écart entre l’approximation et la réalité est de 1-cos(12°)≃2% , l’approximation est dans ce cas justifiée. Si le vent est de 50kt, (5) nous donne une dérive de X≃Fb.W.sinθ = 0.6×50=30°, la vitesse propre sera de 100kt x cos(30°)=87kt. Dans ce cas, pour obtenir la vitesse sol, il faut diminuer de 13% la vitesse donnée par l’approximation de la formule (13). Dans le tableau ci-dessous, on trouvera pour différente valeurs de la dérive et du rapport { \frac {W}{V_p}} la proportion, en %, dont il faut diminuer le résultat de la formule (13) pour obtenir une valeur exacte.


{ \frac {W}{V_p}}20%30%40%50%60%70%
Dérive 10°-2%-2%-2%-3%-4%-5%
Dérive 15°-4%-5%-6%-7%-10%
Dérive 20°-8%-9%-12%-15%
Dérive 25°-13%-16%-21%
Dérive 30°-13%-20%-26%
Dérive 35°-22%-30%

Par exemple, si le vent est de 30kt et ma vitesse propre de 100kt, si je subis une dérive de 15°, je dois minorer le résultat de la formule (13) de 4% pour trouver la valeur juste.
D’un point de vue pratique, tout le monde utilise la formule (13), mais il faut avoir en tête qu’une forte dérive conduit à surestimer la vitesse propre si on utilise la formule (13), et donc arrondir la vitesse trouvée vers le bas va dans le sens de la sécurité.

Formules pour l’IFR (4): anticipation de virage pour intercepter un axe

Je souhaite rejoindre l’ILS pour la piste 25, axé sur 250°.
Ma route actuelle, donnée par mon cap corrigé du vent, est 340°.
Actuellement mon ADF m’indique que la route pour rejoindre l’aéroport est au 270°. Je suis donc au sud de l’axe ILS.
Il y a 40 secondes, sur la même route, mon ADF m’indiquait 280°.
Quand dois-je initier mon virage à gauche pour me trouver sur l’axe de l’ILS en sortie de virage?
La première formule que nous allons voir dans cet article permet de déterminer par un calcul mental très simple que je suis à 4 minutes de l’aéroport.
La deuxième formule que nous allons voir permet, aussi par un calcul mental très simple, de déterminer que si j’initie un virage à gauche au taux 1 lorsque mon ADF indiquera que je suis à 5° de l’axe, soit sur un QDM 255°, je serai parfaitement aligné sur l’axe en sortie de virage. Notez que l’aiguille de mon localizer ne commencera à donner une indication précise que lorsque je serai à 2½° de l’axe: si j’attends ce moment pour virer, il sera trop tard pour m’aligner proprement.

Distance à une balise
Si on parcourt α degrés d’un arc de cercle de rayon r centré sur une balise, la distance parcourue est {{D}=\frac{\alpha \, \pi \, r}{180 }}.
On a donc {{r}=\frac{D}{\alpha }.\frac{180}{\pi }}
Divisons les deux membres par la vitesse sol v, est faisons l’approximation habituelle {\pi \simeq 3}, ou encore {\frac{180}{\pi}\simeq 60}, on obtient alors
{\frac{r}{v}=60\frac{\frac{D}{v}}{\alpha}}
{\frac{r}{v}} est la durée T qu’on mettrait pour rejoindre la balise, et {\frac{D}{v}} est la durée t pour parcourir l’arc de cercle.
On peut donc conclure que si on parcourt α degrés d’un arc de cercle centré sur une balise en t secondes, la durée pour rejoindre la balise est {\textbf{T=}\frac{\textbf{t}}{\mathbf{\alpha}}} minutes
Exemple
Je parcours 10° en 30 secondes sur un arc centré sur une balise, il me faut 30/10=3 minutes pour rejoindre la balise.

Anticipations de virage
Cette partie est très importante pour être à l’aise en évolution IFR. Vous devrez faire un petit effort pour bien comprendre, mais vous serez récompensés par une plus grande aisance lors des exercices IFR.
Je souhaite rejoindre une balise radio électrique sur un axe, par exemple un VOR sur l’axe 250°. Mon but sera atteint quand je serai sur une route à 250° qui me conduira à la verticale de la balise.
Je saurai que je suis correctement positionné
1- en voyant l’aiguille de mon VOR centrée avec l’OBS sur 250°,
2-l’affichage TO,
3-et en ayant une route au 250°, c’est à dire un cap qui, corrigé de la dérive, donne une route au 250°.
Il faut les trois conditions, demandez vous pourquoi.

Je rejoins l’axe sous un certain angle appelé angle d’interception i. Par exemple 30° (avec une route au 220° si je viens du nord, ou au 270° si je viens du sud), mais il se peut ce soit davantage, voire au delà de 90°.
Je ne connais pas la distance à la balise, mais mon HSI me donne aussi le QDM de la balise.
Comment savoir à quel QDM je dois commencer à virer vers 250° au taux 1 pour tomber pile sur l’axe? Autrement dit quel est l’angle d’anticipation α défini comme l’écart entre le QDM auquel je commence à virer et l’axe affiché sur l’OBS?
Je suppose que je connais la durée T pour rejoindre la balise (en minutes), par exemple grâce à la méthode exposée plus haut. Si on note d la distance à la balise et r le rayon du virage exécuté pour rejoindre l’axe, on peut poser d sin α = r (1 – cos i), ou encore {\alpha= \arcsin \frac{r( 1-\cos \, i)} {d}}. En remplaçant d par le produit de la durée T et de la vitesse v, et r par { \frac{v} { \pi}}, sa valeur trouvée dans un précédent article, la vitesse se simplifie et on trouve (A){\alpha= \arcsin \frac{ 1-\cos \, i} { \pi \ T }}

Vous connaissez probablement déjà la formule {\sin x \simeq \frac{x} {60}}, avec x exprimé en degrés, qui consiste à approcher le sinus par sa corde à 30°. Cette formule approchée donne des valeurs exactes pour les angles 0° et 30°, et des valeurs très précises entre 0° et 30°. Pour notre calcul, nous allons approcher le sinus par la formule {\sin x \simeq \frac{x} {20\pi } \simeq \frac{x} {63}}, ou encore { {\arcsin x } \simeq {20\pi } {x}}, formule qui approche le sinus par sa corde à environ 42¼°. L’erreur ne dépasse 1½° qu’au delà d’un sinus de ¾, soit environ 50°. Dans la plupart des cas, l’angle d’anticipation sera très largement inférieur à 50°, dans la vie courante du pilote il dépasse rarement 10°, l’approximation est donc pleinement justifiée.
L’intérêt de cette approximation est qu’elle permet de simplifier considérablement la formule (A) qui devient (B) {\alpha \simeq \frac{ 20 (1-\cos \, i)} { \ T }}

Poursuivons en approchant la formule { 1-\cos i} par sa corde entre les points 60° et 120°:  {1-\cos \, i \simeq \frac{ i} {60}-\frac{1} {2} }. Cette formule donne des valeurs exactes pour 60°, 90° et 120°. L’erreur de cette approximation ne dépasse pas ½° entre 60° et 120°. À 45° et 135° l’erreur est de 4°, mais l’approximation diverge fortement en deçà de 45° et au delà de 135°.
On arrive alors à la formule suivante, valable pour des angles d’interception supérieurs à 45° et inférieurs à 135°.
(C) {\alpha\simeq \frac{ \frac{i}{3}-10} { \ T }}

Formules donnant l’angle d’anticipation en fonction de la durée T pour rejoindre la station et de l’angle i d’interception

Angle d’interception i (B)
Formule approchée {\alpha\simeq \frac{{ 20} (1-\cos \, i)} {\ T }}
(C)
Formule approchée {\alpha \simeq \frac{\frac{i}{3}-10} { \ T }}
Formule approchée donnée par les manuels
30°{\frac{3} {T}}{0}{\frac{3} {T}}
45°{\frac{6} {T}}{\frac{5} {T}}{\frac{6} {T}}
60°{\frac{10} {T}}{\frac{10} {T}}{\frac{10} {T}}
75°{\frac{15} {T}}{\frac{15} {T}}
90°{\frac{20} {T}}{\frac{20} {T}}{\frac{20} {T}}
105°{\frac{25} {T}}{\frac{25} {T}}
120°{\frac{30} {T}}{\frac{30} {T}}{\frac{30} {T}}
135°{\frac{34} {T}}{\frac{35} {T}}
150°{\frac{37} {T}}{\frac{40} {T}}
165°{\frac{39} {T}}{\frac{45} {T}}
180°{\frac{40} {T}}{\frac{50} {T}}{\frac{40} {T}}

On constate que les manuels proposent des formules sérieuses, et que notre formule (C) ne doit pas être utilisée pour des angles d’anticipation inférieurs à 50°, ni supérieurs à 135°, ainsi que nous l’avons annoncé plus haut.
En pratique, dans la vie de tous les jours du pilote, l’angle est assez faible.
On a vu dans l’exemple en tête de cet article qu’il fallait une anticipation à 5° pour un angle d’interception à 90° lorsqu’on est à 4mn de la balise. Pour une interception à 30°, il aurait fallu moins d’un degré d’anticipation, ça parait faible, mais c’est entre 1 et 2 points de localizer, ce n’est donc pas négligeable.

Enfin, notre tableau n’est valable que pour des virages au taux 1! Dès que nous volerons sur des avions plus sérieux que nos avions école, qui voleront si vite qu’ils ne pourront conserver le taux 1, il faudra les abandonner. Si vous virez au taux ½, ce que font parfois les pilotes automatiques lorsque le taux 1 fait dépasser 25° d’inclinaison, il suffit de doubler l’angle d’anticipation, mais si vous virez à un angle d’inclinaison déterminé, par exemple 25° ou 30°, alors il faudra établir une autre formule

Quelques formules pour l’IFR (3)

Dans la partie relative à l’anticipation des virages fly-by de cet article, après avoir établi la formule
{D =(\frac{i}{100}- {0.3})\frac{V}{100}},
je finissais en écrivant
On voit que l’approximation n’est valable qu’entre 60° et 120°, ce qui n’est pas trop gênant puisque:
– à moins de 60°, on anticipera en général du minimum lisible sur nos instruments, soit 0.1NM;

En fait c’est gênant pour des avions qui évoluent plus vite que les 90kt de notre Cessna 172 pendant les exercices de procédure en double commande. Les procédures IFR se pratiquent, lorsqu’on n’est plus à l’école, à plus grande vitesse et le contrôle vous demandera régulièrement de garder les 120kt aussi longtemps que possible sur un Cessna 172, et la quasi-totalité des autres avions IFR voleront bien plus vite.
30° est un angle d’interception courant pour les procédures GNSS. A 120kt il faut 0.2NM d’anticipation, à 200kt 0.3NM, bien au dessus des 0.1NM que je suggérais dans mon article précédent, et surtout s’il s’agit d’intercepter la finale, ce n’est pas le moment de dépasser l’axe!
J’ai donc cherché une formule plus adaptée au problème.
J’avais établi la formule de la distance d’anticipation (en NM pour une vitesse exprimée en kt)
{D =\frac{V}{60 \, \pi} \tan\frac{i}{2}}
La durée d’anticipation en secondes se déduit cette formule
{T =\frac{3600}{60 \, \pi} \tan\frac{i}{2}=\frac{60}{\pi} \tan\frac{i}{2}}
La formule ne dépend plus de la vitesse, c’est déjà une simplification.
En prenant pour approximation la corde de cette fonction pour un angle d’anticipation de 80°, on trouve que l’anticipation en secondes d’un virage fly-by est voisine de deux dixièmes de l’angle en degrés.
{T \simeq\frac{2}{10} i}
Quelle que soit votre vitesse, l’anticipation d’une interception à 30° doit être ainsi de 6 secondes.
Comme la durée jusqu’au prochain point est en général donné directement par votre GPS, cette formule est très facile à utiliser lors de procédures PBN. Si vous suivez une procédure classique, vous devez connaître votre temps au prochain point si vous appliquez la méthode qu’on vous a, j’espère, enseignée pendant votre apprentissage de l’IFR.
L’erreur ne dépasse pas une seconde entre 0 et 90°. Au delà de 90° cette approximation ne doit plus être utilisée. La fonction tangente étant divergente, il n’est pas possible d’envisager une approximation linéaire pour des angles significativement supérieurs à 90°

La formule établie plus haut est le fruit d’une approche purement géométrique, un instructeur expérimenté m’a suggéré une approche plus intuitive: au taux 1, je vire de 3° par seconde. Le temps pour un virage de 30° par exemple sera donc de 30/3=10 secondes, et par conséquent mon anticipation doit être de de la moitié, soit 5 secondes. Sa serait donc {T \simeq\frac{i}{6} }
Cette méthode revient à assimiler l’angle à sa tangente, ce qui n’est pas loin de la vérité tant que l’angle est petit.
En termes mathématiques, on arrive à cette formule en assimilant la fonction tangente à sa … tangente au point d’angle nul.
{\tan i \simeq \frac{\pi i}{180}}
{T =\frac{60}{\pi} \tan\frac{i}{2}\simeq\frac{60}{\pi}\frac{\pi \frac{i}{2}}{180}=\frac{i}{6}}

La formule de cet instructeur expérimenté n’est valable que pour les angles pas trop importants. Pour 90°, sa formule donne 15 secondes d’anticipation, la mienne donne 18 secondes, et la formule exacte 19 secondes. Avec une approche purement intuitive et de bon sens, on peut trouver des approximations opérationnelles sans connaître l’algèbre, mais la formule que je propose est à la fois plus simple et plus précise.

Quelques formules pour l’IFR (2)

Vous trouverez dans le tableau ci-dessous des formules de calcul mental démontrées précédemment pour les premières, et démontrées dans la suite pour la dernière. Les distances sont en milles marins, les vitesses en noeuds, et les angles en degrés

Pour calculer Formule Plage d’utilisation Exemple
Inclinaison en ° pour virer au taux 1 {\frac{15 }{100} V } Vitesse jusqu’à 200kt; inclinaison jusqu’à 30° Pour 140kt, l’inclinaison fait 21° = 140 x 15/100
Rayon de virage au taux 1 {\frac{V }{200} } Pas de limite en pratique (erreur<0.1NM si V<330kt) Pour 140kt, le rayon de virage fait 0,7 NM =140/200
Rayon de virage à 30° d’inclinaison {\frac{V }{100} - 1 } Vitesse comprise entre 140kt et 250 kt, Rayon de virage compris entre 0,4 NM et 1,5 NM Pour 140kt, le rayon de virage fait 0,4 NM = 140/100-1
Rayon de virage à 25° d’inclinaison Majorer du ¼ le résultat obtenu pour 30° d’inclinaison Vitesse comprise entre 140kt et 260 kt, Rayon de virage compris entre 0,5 NM et 2,0 NM Pour 180kt, le rayon de virage fait 1 NM: 180/100-1=0,8 ; 0,8 /4 = 0,2 ; 0,8 + 0,2 = 1
Anticipation d’une altération de route Fly-by de i° en virant au taux 1, à la vitesse V(kt) Anticiper le virage de {D =(\frac{i}{100}- {0.3})\frac{V}{100}} NM Altération de route comprise entre 60° et 120° Pour 70° d’altération de route à 150kt, commencer à virer 0.6NM avant le point: 70/100-0.3=0.4 ; 0.4 x 1.5 = 0.6

Nous utilisons dans cet article les mêmes notations que pour mon premier article sur les formules utiles en IFR.
Anticipation d’un virage Fly By

Si ALPHA est matérialisé par une balise NDB, ou par un VOR non associé à un DME, et que le GPS n’est pas encore inventé, la seule façon de suivre la trajectoire est de survoler la balise, et d’initier le virage à droite une fois cette balise survolée. C’est la trajectoire Fly-over. Si on connaît sa distance à la balise ALPHA, par un DME ou un GPS par exemple, on peut envisager la trajectoire Fly-by, qui prend moins d’espace, et qui donc est en général imposée pour les procédures modernes.
A quelle distance D du point ALPHA dois-je commencer à virer pour suivre la trajectoire Fly-by, si l’altération de route est de i degrés ?

Si R est mon rayon de virage, une construction géométrique simple montre que la distance est {D =R \tan\frac{i}{2}}

Pour un virage au taux 1 d’un aéronef volant à la vitesse sol V exprimée en nœuds, en utilisant la formule établie précédemment, la distance sera {D =\frac{V}{60 \, \pi} \tan\frac{i}{2}}

En prenant la corde de cette fonction de i entre i=60° et i=120°, on trouve l’approximation linéaire suivante {D =(\frac{i}{100}- {0.3})\frac{V}{100}}

Examinons la pertinence de notre approximation, pour V= 100kt

Altération de route i en degrés Distance exacte à 10-2 près en NM Valeur approchée {\frac{V}{200}}
30° 0.14 0.00
60° 0.31 0.30
90° 0.53 0.60 0.50
120° 0.92 0.90
150° 1.98 1.20

L’anticipation à 90° est égale au rayon de virage ( {D =R \tan\frac{90}{2}}=R), rayon pour lequel nous avons établi précédemment la formule {R=\frac{V }{200} }. Notre approximation précédente donnait 0.50, celle d’aujourd’hui 0.60, la vraie valeur est proche de 0.53, nos deux approximations sont satisfaisantes pour l’usage que nous en ferons.

On voit que l’approximation n’est valable qu’entre 60° et 120°, ce qui n’est pas trop gênant puisque:
– à moins de 60°, on anticipera en général du minimum lisible sur nos instruments, soit 0.1NM;
– les normes relatives à la constructions des procédures IFR interdisent en général de prévoir des virages Fly-by à plus de 120°.
EDIT: voir l’article 3 de notre série « quelques formules pour l’IFR »

Quelques formules pour l’IFR (1)

Dans cet article, vous trouverez quelques précisions souvent mal connues, et des démonstrations de formules, formules qui sont en général exposées mais jamais démontrées dans les manuels. J’emploie parfois l’abréviation anglaise NM, nautical mile pour désigner le mille marin de 1852 m.

Vous trouverez dans le tableau ci-dessous des formules de calcul mental démontrées dans la suite. Les distances sont en milles marins, les vitesses en noeuds, et les inclinaisons en degrés

Pour calculer Formule Plage d’utilisation Exemple
Inclinaison en ° pour virer au taux 1 {\frac{15 }{100} V } Vitesse jusqu’à 200kt; inclinaison jusqu’à 30° Pour 140kt, l’inclinaison fait 21° = 140 x 15/100
Rayon de virage au taux 1 {\frac{V }{200} } Pas de limite en pratique (erreur<0.1NM si V<330kt) Pour 140kt, le rayon de virage fait 0,7 NM =140/200
Rayon de virage à 30° d’inclinaison {\frac{V }{100} - 1 } Vitesse comprise entre 140kt et 250 kt, Rayon de virage compris entre 0,4 NM et 1,5 NM Pour 140kt, le rayon de virage fait 0,4 NM = 140/100-1
Rayon de virage à 25° d’inclinaison Majorer du ¼ le résultat obtenu pour 30° d’inclinaison Vitesse comprise entre 140kt et 260 kt, Rayon de virage compris entre 0,5 NM et 2,0 NM Pour 180kt, le rayon de virage fait 1 NM: 180/100-1=0,8 ; 0,8 /4 = 0,2 ; 0,8 + 0,2 = 1

Facteur de charge n

Si votre bille est centrée pendant un virage d’inclinaison α en palier, la portance équilibrera le poids apparent, le schéma permet de voir que le facteur de charge est
n={\frac{1}{\cos \alpha}}
Des valeurs remarquables sont

Inclinaison Facteur de charge Augmentation du poids apparent
25° 1.10 10%
30° 1.15 15%
45° 1.41 41%
60° 2.00 100%

Rayon de virage R en fonction de l’inclinaison
L’accélération latérale en virage est égale à {\frac{V^{2}}{R}}, R étant le rayon de virage et V la vitesse propre, résultat dont vous trouverez la démonstration dans n’importe quel manuel traitant de cinématique.
La force latérale est, comme on le voit sur le schéma, égale au quotient du poids sur la tangente de l’inclinaison, l’accélération s’obtient en divisant la force par la masse, en application du principe de la dynamique. On a donc {\frac{V^2}{R}=\frac{g}{\tan \alpha }}
soit {{R}=\frac{V^2}{g \,\tan \alpha }}
Il faut veiller aux unités pour passer à l’application numérique.
Si la vitesse est en nœuds, le rayon en milles marins et g en m.s-2, la formule devient {{1852 R}=\frac{{(\frac{1852 V}{3600})^2 } }{g \,\tan \alpha }} soit {{R}=\frac{{1852 (\frac{ V}{3600})^2 } }{g \,\tan \alpha }=\frac{1}{\tan \alpha } (\frac{V}{3600 \, \sqrt \frac{g}{1852 } })^2 \simeq \frac{1}{\tan \alpha } (\frac{V}{262})^2}
Cette formule est peu connue, et il faut bien le dire a peu d’intérêt pratique en vol puisqu’il n’est pas évident d’élever mentalement au carré. On voit qu’à 262kt, le rayon de virage est égal à \frac{1}{\tan \alpha }, soit 1NM pour 45° d’inclinaison.
À 30° d’inclinaison la formule devient {{R}=\frac{1}{\tan 30 } (\frac{V}{262})^2=\sqrt 3 (\frac{V}{262})^2= (\frac{V}{199})^2 }, soit un rayon de 1.6 NM pour un virage à 250kt.
En prenant {{R}=(\frac{V}{200})^2 } au lieu de {{R}=(\frac{V}{199})^2 }, et en approchant la parabole {{R}=(\frac{V}{200})^2 } par sa tangente au point d’abscisse 200kt et d’ordonnée 1NM, on trouve une règle facile à utiliser en vol: {R= \frac{V}{100}-1}
Par exemple, pour 250kt, cette formule simplifiée donne un rayon de virage de 2.5-1= 1.5 NM, pour une valeur réelle de l’ordre de de 1.58 NM, ce qui est une précision largement suffisante.
Cette formule peut être utilisée entre 140kt et 250kt, plage pour laquelle la précision est supérieure à un dixième de mille marin. La formule approchée étant linéaire pour une formule exacte quadratique, l’erreur augmente significativement en dehors de cette plage.
Enfin, la tangente de 30° étant supérieure d’environ 25% à la tangente de 25°, il suffit de majorer d’un quart le rayon trouvé pour 30° pour obtenir le rayon d’un virage à 25° d’inclinaison.

Le taux de virage
Le taux de virage est défini comme le nombre de demi-tours par minute d’un aéronef en virage en palier. Au taux 1, l’avion fait un demi-tour, soit 180°, en une minute, ou encore 3° par seconde.

Quelle inclinaison α pour un virage au taux 1?
Un avion en virage de rayon R devra parcourir une distance π R pour faire un demi tour, distance qui sera parcourue en une durée {\frac{\pi R}{V}} si l’avion vole à la vitesse propre V.
Remplaçons R par sa valeur {\frac{V^2}{g \,\tan \alpha }} trouvée au paragraphe relatif au rayon de virage, on trouve {\frac{\pi V}{g \,\tan \alpha }}= 1mn, soit {\tan \alpha= \frac{\pi}{g \, 1mn } V}.
Si la vitesse est en nœuds et l’accélération de la pesanteur en m.s-2, l’équation s’écrit {\tan \alpha= \frac{1852 \pi }{60 . 3600\,g }V}
soit { \alpha= \arctan \frac{1852 \pi }{60 . 3600\,g }V \simeq \arctan \frac{0.157 \pi }{180}V}
Pour les petits angles, on peut assimiler la tangente à l’angle, ce qui donnerait α=0.157 V. Mais dans le cas qui nous concerne, il vaut mieux assimiler la fonction à sa corde en un point d’utilisation usuel. À 140kt, la formule exacte donne 21° d’inclinaison, soit 15% de la vitesse. En prenant
α (en degrés) = 0,15 V (en noeuds), on obtient donc une valeur exacte pour 140kt, et une valeur approchée pour les autres vitesses. C’est cette formule qui figure dans tous les manuels.
Elle est remarquablement précise: l’écart entre le résultat de la formule simplifiée et la réalité est inférieur à ½ degré d’inclinaison jusqu’à 25° d’inclinaison, ce qui correspond à 170kt , et dépasse à peine 1° pour 30° d’inclinaison, ce qui correspond à 210kt.
On pourra utiliser cette formule chaque fois qu’on devra effectuer un virage au taux 1, puisqu’on ne pratique le taux 1 que jusqu’à 30° d’inclinaison ainsi que nous l’allons voir au paragraphe suivant.

Virages en IFR
Le MÉMENTO À L’USAGE DES UTILISATEURS DES PROCÉDURES DE VOL AUX INSTRUMENTS nous dit que dans l’établissement des procédures et des aires associées, les rayons de virage sont calculés pour une inclinaison de 25° ou un taux de virage de 3°/s (si l’inclinaison qui en résulte est inférieure à 25°).
Ça veut dire que si vous virez au taux 1, vous êtes protégés, mais si le taux 1 vous conduit à dépasser 25°, ce qui se produit si votre vitesse est supérieure à 170kt, vous resterez dans la protection si vous limitez votre inclinaison à 25°.
Si vous devez reprendre le pilotage manuel, une inclinaison supérieure à 30° commence à demander une attention particulièrement soutenue en vol sans visibilité, c’est pour cette raison que je conseille de ne pas incliner davantage que 30° en IFR. À 30°, vous avez en plus l’avantage d’une marge de sécurité, la protection étant calculée pour 25°.
Certains manuels suggèrent de limiter l’inclinaison à 25° pour le confort des passagers. À 25° le poids apparent est augmenté de 10%, à 30° de 15%. Je ne pense pas que l’augmentation du facteur de charge soit décisive pour le confort des passagers. Je pense qu’ils sont davantage impressionnés, s’il ont des repères visuels extérieurs, par le basculement du paysage, et de ce point de vue, je pense qu’une inclinaison de 30° n’est pas beaucoup plus impressionnante qu’une inclinaison de 25°. Je recommande donc de ne pas hésiter à incliner à 30°, et donc de garder le taux 1 jusqu’à 210kt.
Notez aussi que pour les départs initiaux et l’approche interrompue l’inclinaison considérée est de 15°. Les manœuvres à vue libres considèrent un angle de 20°.
Remarque : lors de l’exécution de manœuvres à vue imposées (VPT), il n’est pas tenu compte de la cadence à 3°/s et seule l’inclinaison de 25° est considérée.
Le document OACI 8168 dit pour les manœuvres à vue libres c) bank: 20° average achieved or the bank angle producing a turn rate of 3° per second, whichever is the lesser bank., et pour les manœuvres à vue imposées 25° average achieved bank angle.
Ça veut donc dire qu’il faut incliner à 25° au moins pour rester dans la protection pendant les manœuvres à vue imposées, même si ça conduit à un taux de virage supérieur à 1.

Rayon de virage au taux 1
En remplaçant, dans la formule du rayon de virage {{R}=\frac{V^2}{g \,\tan \alpha }}, α par sa valeur trouvée pour un virage au taux 1, on écrit
{{R}=\frac{V^2}{\frac{g . \pi . V }{1mn .\, g }}=\frac{1 mn V}{\pi}}
En convertissant une minute en un soixantième d’heure, et pour une vitesse en nœuds, le rayon de virage R, exprimé en milles marins, s’écrit {{R}=\frac{V}{60 \, \pi }\simeq\frac{V}{188 }}
Les manuels proposent la formule
{{\textbf R}\simeq\frac{\textbf V}{\textbf 2 \textbf 0 \textbf 0}} au lieu de {\frac{V}{188}} . C’est une approximation très commode pour le calcul mental. L’erreur due à cette approximation ne dépasse un vingtième de mille marin qu’au delà de 165kt et ne dépasse un dixième de mille marin qu’au delà de 330kt.

Par exemple, si vous êtes à 120kt de vitesse sol sur une procédure PBN qui demande un virage flyby à 90°, vous devez initier le virage au taux 1 120/200 =0,6 mille marin avant le point de virage. Certains manuels proposent de rajouter 0,1 mille marin pour tenir compte du temps de réaction, vous commencerez donc votre virage à 0,7 mille du point.

Attention, cette formule V/200 n’est valable que tant que vous effectuez vos virages au taux 1. Au delà de 210kt, votre inclinaison dépasse 30° au taux 1. Si vous plafonnez votre inclinaison à 30° au delà de 210kt, votre taux de virage sera inférieur à 1, la formule V/200 ne sera plus valable, il faudra utiliser la formule V/100-1 vue plus haut. Vous noterez que les deux formules donnent le même résultat (1NM) pour V=200kt, qui est à peu de chose près la vitesse à laquelle on incline de 30° au taux 1.

Influence du vent sur le temps de vol (1)

Les règlements EASA imposent au commandant de bord de s’assurer qu’il dispose du carburant nécessaire avant le vol, et de gérer son carburant en vol (cf. articles NCO.OP.125, NCO.OP.125, NCO.OP.185, SERA.2010, SERA.11012).
Il faut donc notamment tenir compte de l’influence du vent sur le temps de vol. Voici une formule simple que je n’ai jamais vue dans les manuels, ainsi qu’un tableau qu’on pourra consulter pour avoir une idée des ordres de grandeur.

Soient
-Vp votre vitesse propre, par exemple 100 kt;
-W la composante de face de la vitesse du vent, par exemple 20 kt.
On note q={\frac{W}{V_p}} , soit avec les données de l’exemple q=0.2 ou 20% ou {\frac{1}{5}} .
Si vous n’aimez pas les formules, allez directement au tableau en fin d’article.
La majoration du temps de vol due au vent est donnée par la formule
\frac{1}{1-q}-1 qu’on peut aussi écrire sous la forme
\frac{q}{1-q} , soit avec les données de l’exemple:
\frac{0.2}{1-0.2}=\frac{0.2}{0.8}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4} ou 25%, ou encore 15 minutes par heure. (J’ai détaillé pour aider ceux de mes lecteurs qui auraient oublié comment manipuler des fractions).
Ce qui veut dire qu’au lieu de mettre une heure pour un trajet de 100NM sans vent, il vous faudra une heure et quart en tenant compte du vent.
Cette formule donne la majoration pour un trajet avec du vent de face.
Elle donne aussi la minoration si le vent est favorable, il suffit d’inverser le signe de q. Si le même vent est de dos la variation de temps de vol sera de
\frac{-0.2}{1+0.2}=-\frac{0.2}{1.2}=-\frac{2}{12}=-\frac{1}{6} ou 10 minutes par heure ou environ 17%.
Ce qui veut dire qu’au lieu de mettre une heure pour un trajet de 100NM sans vent, en tenant compte du vent favorable il vous faudra 10 minutes de moins, c’est à dire 50 minutes.

Voici un tableau des valeurs remarquables :

Quotient du vent par la vitesse propre {\frac{Vent}{Vitesse}} Augmentation du temps de vol en % en cas de vent de face Perte de temps en minutes par heure en cas de vent de face Diminution du temps de vol en % en cas de vent de dos Gain de temps en minutes par heure en cas de vent de dos
{\frac{1}{10}}=10% {\frac{1}{9}}≈11% ≈7 {\frac{1}{11}}≈9% ≈5
{\frac{1}{9}}≈11% {\frac{1}{8}}=12½% {\frac{1}{10}}=10% 6
{\frac{1}{8}}=12½% {\frac{1}{7}}≈14% ≈9 {\frac{1}{9}}≈11% ≈7
{\frac{1}{7}}≈14% {\frac{1}{6}}≈17% 10 {\frac{1}{8}}=12½%
{\frac{1}{6}}≈17% {\frac{1}{5}}=20% 12 {\frac{1}{7}}≈14% ≈9
{\frac{1}{5}}=20% {\frac{1}{4}}=25% 15 {\frac{1}{6}}≈17% 10
{\frac{1}{4}}=25% {\frac{1}{3}}≈33% 20 {\frac{1}{5}}=20% 12
{\frac{1}{3}}≈33% {\frac{1}{2}}=50% 30 {\frac{1}{4}}=25% 15
{\frac{1}{2}}=50% 100% (doublement du temps) 60 {\frac{1}{3}}≈33% 20
1= 100% {\frac{1}{2}}=50% 30

Vous constatez que le gain par vent favorable est toujours inférieur, et ce d’autant plus si le vent est fort, que la perte par vent de face.
Maintenant supposons que vous alliez à la verticale de la destination, puis vous revenez sans vous arrêter. À l’aller vous avez souffert du vent de face, mais au retour vous bénéficierez d’un vent favorable. Cependant ceci ne compense jamais cela. Dans notre exemple au lieu de mettre deux heures pour un trajet aller-retour de 100NM sans vent, il vous faudra 1h15 + 50 minutes = 2h05.

La majoration du temps de vol dans un aller-retour peut-être calculée directement en faisant le produit du pourcentage d’augmentation par vent de face et du pourcentage d’augmentation par vent favorable, dans notre exemple \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{24} soit 2½ minutes par heure ou environ 4%. Un trajet aller-retour de 100NM, soit 2 heures sans vent sera ainsi majoré 2 x 2½ = 5 minutes, on retrouve bien les 5 minutes de majoration du paragraphe précédent.